基于T检验的易拉罐物理建模分析
摘要：本文讨论的是在体积一定的情况下，满足成本最低即用料最省的易拉罐形状和尺寸的最优设计方案。
问题一，我们对十种常见饮料的易拉罐的罐体直径、圆台直径、罐体高度等八项指标进行了实际测量，得到了比较精确的数据。
问题二，将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情形；分别建立了以易拉罐表面积、材料体积以及材料体积和焊缝长度为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。通过理论推导(拉格朗日乘数法)求得与关系的解析解分别为、、，并用实测数据进行验证，实测数据与理论结果吻合效果较好。
问题三，类似于问题二，我们也分上述三种情形分别建立非线性规划模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样本检验，说明实测数据与理论结果基本相符。
问题四，在问题三的基础上，我们引入黄金分割点，综合考虑压强、环保，同时兼顾材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，各项指标见正文表6。
问题五，根据数学建模的经历阐述了数学建模的含义、关键之处和难点。
本文对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。
关键词：非线性规划、拉格朗日乘数法、配对样本检验
Abstract: This paper discusses the optimal design scheme for the shape and size of the pop top cans with the lowest cost and the most economical material under certain volume conditions.
One problem, we have measured eight indexes of the diameter of the cans, the diameter of the round table, the height of the tank and the height of the tank of ten kinds of common drinks, and got the more accurate data.
Problem two, the can be divided into three cases with the same wall thickness, different wall thickness, and three different wall thickness and welding length, and the non linear programming model, which takes the surface area of the tank, material volume, material volume and weld length as the objective function, and the volume must be a constraint condition, is established respectively. Through theoretical derivation (Lagrange multiplier method), the analytical solutions of the relation are obtained respectively, and are verified by the measured data. The measured data are in good agreement with the theoretical results.
Problem three, similar to problem two, we also set up the nonlinear programming model in the above three cases, and then get the analytical solution by the Lagrange multiplier method. The results are obtained by Matlab 6.5 programming, and the matched samples are used to test the results, which shows that the measured data are basically in line with the theoretical results.
Problem four, on the basis of problem three, we introduce the golden section, consider the pressure, the environmental protection, and take into account the most provincial material, and design a new type of can with consideration of various advantages. Each index is shown in the text table 6.
Question five, according to the experience of mathematical modeling, the meaning, key points and difficulties of mathematical modeling are expounded.
In this paper, the optimal design of the shape and size of the can is considered synthetically, and the Lagrange multiplier method is used to obtain the optimal analytical solution, which has strong practicability and generalization.
Key words: nonlinear programming, Lagrange multiplier method, paired sample test
目录
一、问题重述 4
二、模型假设 5
1．各种易拉罐的上面的拉环生产成本固定，不受易拉罐形状和尺寸的影响； 5
2．易拉罐的容积是一定的； 5
3. 易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正比； 5
4．易拉罐圆台部分顶盖到侧面间的坡度为0.3[1]。 5
三、符号说明 5
四、模型分析 5
问题一： 5
问题二： 5
问题三： 6
问题四： 6
问题五： 6
五、模型建立 6
1. 问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型 6
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 6
（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形 7
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度[4]的情形 8
2. 问题三：圆柱体加圆台形易拉罐尺寸的最优设计模型 9
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 9
（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形 10
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形 10
3．问题四：自己设计的易拉罐最优形状和尺寸模型 11
（1） 考虑美观度的情形 11
（2）考虑压强引起的底面弧度变化的情形 11
六、模型求解 14
1. 问题一的求解 14
2. 问题二的求解 14
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 14
（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形 15
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形 16
3．问题三的求解 16
(1) 易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 16
（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形 17
（2） 易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形 19
4．问题四的求解 19
（1）考虑美观度的情形 19
（2）考虑压强引起的底面弧度变化的情形 20
（3）考虑环保的情形 20
5．问题五 21
七、模型评价与推广 22
1. 模型的评价 22
2. 模型的推广 22
参考文献 23
附录 23
一、问题重述
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
1.取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；解答以下各问。
2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。
3.设易拉罐的中心纵断面的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4.利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
5.用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文阐述什么是数学建模及其关键步骤以及难点。
